新人教版不等式教学设计

　　(有的同学感到迷惑不解)

　　师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。

　　(有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明)

　　师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。

　　生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

　　师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确?

　　生 正确。

　　[教师精讲]

　　师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。

　　生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。

　　师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。

　　(教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言)

　　生 作商，用商和“1”比较大小。

　　师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢?这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。

　　(此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生)

　　[合作探究]

　　师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。

　　生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。

　　(学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨)

　　师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。

　　生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。

　　师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。

　　(大家齐声)一致。

　　(此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用)

　　板书：

　　一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[过程引导]

　　师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。

　　(同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引)

　　师 当a>0,b>0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

　　生 完全可以。

　　师 为什么?

　　生 因为不等式中的a、b∈R。

　　师 很好，我们来看一下代替后的结果。

　　板书：

　　即 (a>0,b>0)。

　　师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　(此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解)

　　师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢?

　　(此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式)

　　要证：，①

　　只要证a+b≥2，②

　　要证②，只要证：a+b-2≥0，③

　　要证③，只要证：④

　　显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。

　　(此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度)

　　[合作探究]

　　老师用投影仪给出下列问题。

　　如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

　　(本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)

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